문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 소수 정리 (문단 편집) === 해석적 증명 === 망골트근사식의 증명부터 살펴보자. 다음 식에서 시작한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle\zeta\left(s\right)=\prod_{p}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1})]}}} 양변을 로그를 취하고 미분하면 다음이 나온다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle -\frac{\zeta'\left(s\right)}{\zeta\left(s\right)}=\sum_{n=1}^{\infty}\Lambda\left(n\right)n^{-s})]}}} 여기서 [math(\Lambda\left(n\right))]은 [[폰 망골트 함수|[math(n)]이 소수 [math(p)]의 거듭제곱일 때만 [math(\log p)]의 값을 가지는 함수]]이다. 이제 다음과 같은 페론의 공식(perron's formula)을 이용하자. || [math(\ \displaystyle\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma_0-i\infty}^{\sigma_0+i\infty}\frac{x^s}{s}g(s)ds=A(x),\ \ \ \ \sigma_0>0,)] || 여기서 [math(g(x))]는 수열 [math(a(n))]에 대해 [math(g(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a(n)}{n^s})],[math( \ A(x))]는 [math(\displaystyle\sum_{1\le n\le x}^{}a(n))]이되, [math(x)]가 정수면 시그마의 마지막 항에 [math(\frac{1}{2})]을 곱해서 더하는 함수로 정의된다. 이제 [math(a(n)=\Lambda(n))]을 대입해보자. 그러면 [math(\displaystyle\sum_{m\le x}\Lambda\left(m\right)=\psi\left(x\right))]이고 [math(\displaystyle -\frac{\zeta'\left(s\right)}{\zeta\left(s\right)}=\sum_{n=1}^{\infty}\Lambda\left(n\right)n^{-s})]이므로 페론의 공식에 대입하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle\psi_0\left(x\right)=-\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma_0-i\infty}^{\sigma_0+i\infty}\frac{\zeta'\left(s\right)}{\zeta\left(s\right)}\frac{x^s}{s})]}}} 가 나오며, 제한된 크기를 가지고 있는 오차항 [math(R)]에 대해 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle\psi_0\left(x\right)=-\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma_0-iT}^{\sigma_0+iT}\frac{\zeta'\left(s\right)}{\zeta\left(s\right)}\frac{x^s}{s}+R\left(x,T,\sigma_0\right))]}}} 로 쓸 수 있다. 이제 [math(\displaystyle\sigma_0=1+\frac{1}{\log x})]라 놓고, 홀수 자연수 [math(K)]에 대해 적분구간을 다음과 같이 바꾼다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle\int_{\sigma_0-iT}^{\sigma_0+iT}=\int_{C}-\int_{\sigma_0-iT}^{K-iT}-\int_{K-iT}^{K+iT}-\int_{K+iT}^{\sigma_0+iT})]}}} 여기서 [math(C)]는 [math(\sigma_0-iT,\sigma_0+iT,K-iT,K+iT)]를 꼭짓점으로 가지는 사각형이다. 이제 [math(C)]에 대한 적분 유수정리를 이용하여 계산하고, 나머지 적분과 오차항이 얼마나 큰지 분석하고, [math(K,T)]를 모두 무한대로 보내면 망골트 근사식이 증명된다. 이제 제타 함수의 비자명근의 실수부가 [math(1)]보다 작음을 증명하자. [math(0)]과 [math(1)] 사이인 것부터 보이자. 제타 함수에 로그를 씌우면 다음과 같음을 보일 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle\zeta\left(s\right)=\exp\left(\sum_{p}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{mp^{ms}}\right)=\exp\left(\sum_p\sum_{m=1}^{\infty}\frac{e^{-imt\log p}}{mp^{m\sigma}}\right))]}}} 여기서 [math(\sigma)]는 [math(s)]의 실수부분이며, [math(t)]는 허수부분이다. 이를 통해 다음을 보일 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle\left|\zeta\left(s\right)\right|=\exp\left(\sum_{p}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\cos\left(mt\log p\right)}{mp^{m\sigma}}\right))]}}} 이것을 [math(\sigma,\sigma+it,\sigma+2it)]에 대해 적용하면 다음 식을 얻는다. || [math(\begin{aligned}\displaystyle\left|\zeta\left(\sigma\right)\right|^3\left|\zeta\left(\sigma+it\right)\right|^4\left|\zeta\left(\sigma+2it\right)\right|&=\exp\left(\sum_p\sum_{m=1}^{\infty}\frac{3+4\cos\left(mt\log p\right)+\cos\left(2mt\log p\right)}{mp^{m\sigma}}\right)\\&=\exp\left(\sum_p\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\left(1+2\cos\left(mt\log p\right)\right)^2}{mp^{m\sigma}}\right)\\&\ge 1\end{aligned})] || 따라서 [math(\sigma>1)]일 때는 해가 없다는 것을 알 수 있고, [math(\sigma=1)]일때 제타 함수는 simple pole을 가지므로 이때 또한 해가 없음을 알 수 있다. 즉, 리만 제타 함수의 비자명근들은 모두 소수부분이 [math(1)] 미만이고, 따라서 소수 정리는 참이다! 증명의 세부 사항을 알고 싶으면 몽고메리와 본(Montgomery & Vaughan)의 Multiplicative Number Theory 5장과 12장을 보면 된다. 다만 이 책에서는 망골트 근사식을 완전히 증명하지 않고 도중에 조금 다른 방법으로 6장에서 소수 정리를 증명한다. 또 다른 해석적 증명이 아포스톨(Apostol)의 Introduction to Analytic number Theory 13장에 나오는데, 이 증명은 길이가 더 길고 조금 복잡하지만 위의 증명보다 쉽다. 아포스톨이 계산을 재미있게(??) 쓰는 것을 한번 보는 것도 좋다. 좀 짧은 증명을 원하고 계산에 어느정도 자신이 있다면 뉴먼(Newman)의 Analytic Number Theory를 보면 된다. 무려 8페이지 만에 두 개의 증명을 소개한다!-- 그 전에 알아야 할 게 꽤 있다는 건 비밀--저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기